Permütasyon ve Kombinasyon Hesaplama
Başkan, yardımcı ve sekreter (sıra önemli): P(10, 3) = 720; 3 kişilik komisyon (sıra önemsiz): C(10, 3) = 120.
Sonuçta bir hata mı var? Bize bildir E-posta taslağına sayfa adresi, formdaki değerler ve çıkan sonuç eklenir; göndermeden önce düzenleyebilirsin.
Sıradaki adım
Permütasyon ve kombinasyon nasıl hesaplanır?
Sayma problemlerinde ilk soru şudur: sıra önemli mi? Önemliyse permütasyon, değilse kombinasyon kullanılır. İkinci soru, bir elemanın birden fazla kez seçilip seçilemeyeceğidir; seçilebiliyorsa tekrarlı formüller devreye girer.
Örnek: 10 kişilik bir sınıftan başkan, başkan yardımcısı ve sekreter seçmenin 720 yolu vardır (P(10, 3) = 10 × 9 × 8). Aynı sınıftan 3 kişilik bir temsilci grubu seçmenin ise 120 yolu vardır; çünkü A-B-C ile C-B-A aynı gruptur ve her grup 3! = 6 farklı sırayla dizilebilir: 720 ÷ 6 = 120.
Hangi formül ne zaman?
| Durum | Formül | Örnek (n = 10, r = 3) |
|---|---|---|
| Sıra önemli, tekrar yok | P(n, r) = n! / (n − r)! | Başkan, yardımcı, sekreter: 720 |
| Sıra önemsiz, tekrar yok | C(n, r) = n! / (r!(n − r)!) | 3 kişilik komisyon: 120 |
| Sıra önemli, tekrar serbest | nr | 0-9 rakamlarıyla 3 haneli şifre: 1.000 |
| Sıra önemsiz, tekrar serbest | C(n + r − 1, r) | 10 çeşit dondurmadan 3 top: 220 |
| Hepsini dizmek | n! | 10 kitabı rafa dizmek: 3.628.800 |
Faktöriyel tablosu
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 9 | 362.880 |
| 10 | 3.628.800 |
| 12 | 479.001.600 |
| 15 | 1.307.674.368.000 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
Pascal üçgeni: C(n, r) değerleri
Her satır bir n değerini, satırdaki sayılar r = 0'dan n'ye kadar kombinasyonları verir. Her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır.
| n | C(n, 0) … C(n, n) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 |
| 7 | 1 7 21 35 35 21 7 1 |
| 8 | 1 8 28 56 70 56 28 8 1 |
Tekrar eden elemanlı dizilişler
Bir kelimenin harfleriyle kaç farklı kelime yazılabileceği sorulursa ve bazı harfler tekrar ediyorsa n! tekrar sayılarının faktöriyellerine bölünür. ANNE: 4! / (2! × 2!) = 6; KALEM: 5! = 120; ANKARA (3 A): 6! / 3! = 120.
Olasılık sorularında sonuç genellikle "istenen durum sayısı ÷ tüm durumların sayısı" olarak yazılır ve sonucu yüzdeye çevirmek için yüzde hesaplama, kesri sadeleştirmek için kesir hesaplama aracını kullanabilirsin. Veri setinin ortalamasını ve standart sapmasını ortalama, medyan, mod hesaplama, sınav netlerini TYT net hesaplama aracıyla bulabilirsin.
Permütasyon ve kombinasyon: örnek hesaplar
10 kişiden 3 kişi
Başkan, yardımcı ve sekreter (sıra önemli): P(10, 3) = 720; 3 kişilik komisyon (sıra önemsiz): C(10, 3) = 120.
49 sayıdan 6 sayı
Olası kupon sayısı C(49, 6) = 13.983.816; tek kuponla 6 bilme olasılığı bu sayının tersidir.
Permütasyon ve kombinasyon hesabında sık yapılan hatalar
- Sıranın önemli olup olmadığını sormadan formül seçmek. Sıra önemliyse permütasyon, değilse kombinasyon.
- 0!'i 0 kabul etmek. 0! = 1'dir; bu yüzden C(n, 0) = C(n, n) = 1 olur.
- Tekrarlı seçimlerde tekrarsız formül kullanmak. Şifre gibi tekrara izin veren durumlarda n^r kullanılır.
Permütasyon ve kombinasyon için bilmen gerekenler
- C(n, r) = C(n, n − r) eşitliği büyük r değerlerinde hesabı kısaltır.
- Olasılık = istenen durum ÷ tüm durumlar; ikisini de aynı yöntemle (sıralı ya da sırasız) say.
Permütasyon ve kombinasyon hakkında sık sorulan sorular
Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark nedir?
Permütasyonda sıra önemlidir, kombinasyonda önemli değildir. 10 kişiden başkan, yardımcı ve sekreter seçmek permütasyondur: P(10, 3) = 720. 10 kişiden 3 kişilik bir komisyon seçmek kombinasyondur: C(10, 3) = 120. Her kombinasyon 3! = 6 farklı sırayla dizilebildiği için 720 ÷ 6 = 120.
Faktöriyel nedir, 0! neden 1?
n faktöriyel (n!), 1'den n'ye kadar olan tam sayıların çarpımıdır: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. 0! = 1 kabul edilir, çünkü hiç eleman yokken onları dizmenin tek bir yolu vardır (boş dizilim). Bu tanım P(n, n) = n! ve C(n, 0) = 1 gibi formüllerin tutarlı çalışmasını sağlar.
Kombinasyon formülü nedir?
C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). n elemanlı bir kümeden sırası önemli olmadan r eleman seçmenin yolu sayısıdır. Pratik hesap için payda n'den başlayarak r tane sayı çarpılıp r!'e bölünür: C(10, 3) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120.
Tekrarlı permütasyon nedir?
Elemanların tekrar kullanılabildiği sıralı seçimlerdir ve n^r ile hesaplanır. 4 haneli bir şifrede her hane 0-9 olabildiği için 10^4 = 10.000 şifre vardır. Bir kelimenin harfleri tekrar ediyorsa (ör. ANNE) farklı dizilişler n!'in tekrar eden harflerin faktöriyellerine bölünmesiyle bulunur: 4! / (2! × 2!) = 6.
Piyangoda 6 sayı tutturma olasılığı nasıl hesaplanır?
49 sayıdan 6 sayı seçilen bir oyunda olası kupon sayısı C(49, 6) = 13.983.816'dır; tek kuponla 6 bilme olasılığı 1/13.983.816. 90 sayıdan 6 seçilen bir oyunda C(90, 6) = 622.614.630 kombinasyon vardır. Kombinasyon sıra gözetmediği için sayıların çekiliş sırası önemli değildir.
Bir hata ya da eksik mi gördün? Lütfen bize bildir; doğrulayıp düzeltiriz. Hesapların hangi kaynaklara ve yönteme dayandığını kaynaklar ve yöntem sayfasında açıkladık. Sonuçlar bilgilendirme amaçlıdır; resmî işlemlerde ilgili kurumun verilerini esas al. Bizi tanımak için hakkımızda sayfasına bakabilirsin.