Kesirlerle İşlemler: Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme

Kesirler, ortaokul matematiğinin ve LGS, YKS gibi sınavların temel taşlarından biridir; tarif ölçüsünden indirime kadar günlük hayatta da sürekli karşımıza çıkar. Bu rehberde kesirlerle dört işlemin kurallarını, bir kesri sadeleştirmeyi ve genişletmeyi, tam sayılı kesirlerle çalışmayı ve en sık yapılan hataları çözümlü örneklerle anlatıyoruz. Bir işlemin sonucunu ve adımlarını hemen görmek için kesir hesaplama aracını kullanabilirsin.

Kesrin parçaları

a/b biçimindeki bir kesirde b paydadır ve bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü gösterir; a paydır ve bu parçalardan kaç tanesinin alındığını gösterir. Payda sıfır olamaz. 3/8, bir pizzanın 8 eş dilimine bölünüp 3 diliminin alınması demektir.

Sadeleştirme ve genişletme

Pay ve payda aynı sayıyla bölünürse sadeleştirme, çarpılırsa genişletme yapılmış olur; iki durumda da kesrin değeri değişmez. Kesri tek adımda en sade hâline getirmek için pay ve paydanın en büyük ortak bölenine (EBOB) böl: 36/48 için EBOB(36, 48) = 12, dolayısıyla 36/48 = 3/4. EBOB'u bulmakta zorlanırsan EBOB EKOK hesaplama aracı asal çarpanları ve Öklid adımlarını gösterir.

Genişletme en çok toplama ve çıkarmada, paydaları eşitlemek için kullanılır: 2/3'ü paydası 12 olacak şekilde genişletmek için pay ve payda 4 ile çarpılır, 8/12 olur.

Toplama ve çıkarma

Paydalar eşitse paylar toplanır ya da çıkarılır, payda aynen yazılır: 3/7 + 2/7 = 5/7.

Paydalar farklıysa önce ortak paydaya genişletilir. En küçük ortak payda, paydaların EKOK'udur. 5/6 + 3/8 için EKOK(6, 8) = 24: 5/6 = 20/24, 3/8 = 9/24, toplam 29/24 = 1 tam 5/24. Paydaları doğrudan çarpmak (6 × 8 = 48) da doğru sonuç verir ama daha büyük sayılarla uğraşırsın ve sonunda sadeleştirmen gerekir.

Tam sayılı kesirlerde iki yol vardır: tam kısımları ve kesir kısımlarını ayrı toplamak (1 1/2 + 2 1/4 = 3 + 3/4 = 3 3/4) ya da önce bileşik kesre çevirmek (3/2 + 9/4 = 6/4 + 9/4 = 15/4). Çıkarmada kesir kısmı yetmiyorsa ikinci yol daha güvenlidir.

Çarpma

Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır; payda eşitlemeye gerek yoktur: 2/3 × 4/5 = 8/15. Çarpmadan önce bir kesrin payı ile diğerinin paydası arasında çapraz sadeleştirme yapmak işi kolaylaştırır: 6/35 × 14/9 işleminde 6 ile 9'u 3'e, 14 ile 35'i 7'ye bölersen 2/5 × 2/3 = 4/15 olur.

Bir tam sayıyla çarparken tam sayının paydası 1 kabul edilir: 3 × 2/7 = 3/1 × 2/7 = 6/7.

Bölme

Bölme, ikinci kesrin tersiyle çarpmaktır. 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8. "Ters çevirmek" payla paydanın yer değiştirmesidir; ters çevrilen her zaman bölen, yani ikinci kesirdir. Payı sıfır olan bir kesre bölme tanımsızdır.

Neden işe yaradığını görmek için şunu düşün: 3 ÷ 1/2, "3'ün içinde kaç tane yarım var?" sorusudur. Cevap 6'dır ve 3 × 2/1 = 6 ile aynıdır.

Kesirden ondalığa, ondalıktan kesre

Kesri ondalık sayıya çevirmek için pay paydaya bölünür: 3/8 = 0,375. Paydasının asal çarpanları yalnızca 2 ve 5 olan kesirler sonlu ondalık verir; diğerleri devirli ondalıktır: 2/3 = 0,666… = 0,(6). Ondalık sayıyı kesre çevirmek için virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfırlı bir payda yazılır ve sadeleştirilir: 0,45 = 45/100 = 9/20. Kesri yüzdeye çevirmek için 100 ile çarpılır: 9/20 = %45. Yüzde hesaplarının tamamı için yüzde hesaplama aracına bak.

Sık yapılan hatalar

• Payları ve paydaları ayrı ayrı toplamak: 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Doğrusu 3/6 + 2/6 = 5/6. (2/5 değeri 1/2'den bile küçüktür; iki pozitif sayıyı toplayınca küçülmez.)
• Bölmede birinci kesri ters çevirmek: 2/3 ÷ 4/5 için 3/2 × 4/5 yazmak yanlıştır; 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6 olmalı.
• Sadeleştirmede toplamı bölmek: (2 + 6)/2 ifadesinde yalnızca 2'leri silip 6 bulmak yanlıştır; önce payı topla: 8/2 = 4.
• Negatif işareti kaybetmek: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4); işaret pay ya da paydada olabilir ama yalnızca bir kez yazılır.
• Sonucu sadeleştirmeyi unutmak: Sınavlarda cevap genellikle en sade hâliyle verilir; 10/12 yerine 5/6 ara.

Çözümlü örnek sorular

Kendini dene; cevaplar sağda. Herhangi birinin adımlarını görmek için soruyu kesir hesaplama aracına yazabilirsin.

Problem: Ali harçlığının 1/4'ünü kitaba, kalanın 1/3'ünü yemeğe harcıyor; geriye 300 ₺ kalıyor. Harçlık ne kadar? Kitaptan sonra 3/4 kalır; bunun 1/3'ü yemeğe gidince 3/4 × 2/3 = 1/2 kalır. Harçlığın yarısı 300 ₺ olduğuna göre harçlık 600 ₺'dir.

Orantı içeren sorular için oran orantı hesaplama, sınav netini bulmak için LGS puan hesaplama ve TYT net hesaplama araçlarına bakabilirsin. Kesirlerle çalışırken karşılaşacağın alan problemlerinde alan ve çevre hesaplama aracı da işine yarar.